Regressionsanalyse

Was ist Regressionsanalyse? Einfach erklärt!

Die Regressionsanalyse ist ein mächtiges statistisches Analyseverfahren, das in vielen Bereichen eingesetzt wird. Sie basiert auf der Schätzung einer Regressionsfunktion, die die Beziehung zwischen einer abhängigen Variable und einer oder mehreren unabhängigen Variablen beschreibt. 

Einfach ausgedrückt, ist sie eine Methode, die es dir ermöglicht, die Beziehung zwischen zwei oder mehr Merkmalen zu untersuchen. Dabei handelt es sich um eine abhängige Variable (das, was du vorhersagen oder erklären möchtest) und eine oder mehrere unabhängige Variablen (die Faktoren, von denen du glaubst, dass sie die abhängige Variable beeinflussen könnten).

Historischer Hintergrund

Die Regressionsanalyse ist eine etablierte Methode in der Statistik und hat eine lange und faszinierende Geschichte. Die Ursprünge der Regressionsanalyse lassen sich bis ins 19. Jahrhundert zurückverfolgen. Der Begriff „Regression“ wurde erstmals vom britischen Statistiker Francis Galton in seiner Arbeit über genetische Eigenschaften verwendet. Galton bemerkte, dass extreme Eigenschaften (wie außergewöhnliche Größe) in jeder Generation dazu neigen, zur Durchschnittsgröße „regressieren“.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts trug der Statistiker und Biologe Ronald A. Fisher maßgeblich zur Weiterentwicklung der Regressionsanalyse bei. Er entwickelte das Konzept der Varianz und führte Methoden ein, um die Güte der Anpassung in der Regressionsanalyse zu messen. 

In der Mitte des 20. Jahrhunderts begann die Verwendung der Regressionsanalyse in den Sozialwissenschaften zuzunehmen. Insbesondere wurde sie in der Wirtschaftswissenschaft eingesetzt, um ökonomische Beziehungen zu modellieren und Vorhersagen zu treffen. Mit dem Aufkommen von Computern und fortschrittlicher Software in den späten 20. und frühen 21. Jahrhundert wurde die Regressionsanalyse immer zugänglicher und weit verbreitet. 

Zentrale Konzepte und Terminologie

Die Regressionsanalyse beinhaltet eine Reihe von speziellen Begriffen und Konzepten.

Unabhängige und abhängige Variablen

In einer Regressionsanalyse gibt es in der Regel zwei Arten von Variablen:

• Abhängige Variable: Dies ist die Variable, die du vorhersagen oder erklären möchtest. Sie wird auch als „Zielvariable“ oder „Reaktionsvariable“ bezeichnet.
• Unabhängige Variable(n): Dies sind die Variablen, die du zur Vorhersage oder Erklärung der abhängigen Variable verwendest. Sie werden auch als „Prädiktoren“ oder „Erklärungsvariablen“ bezeichnet.

Korrelation

Die Korrelation ist ein Maß dafür, wie stark zwei Variablen miteinander zusammenhängen. Eine positive Korrelation bedeutet, dass die Variablen tendenziell zusammen ansteigen oder abfallen, während eine negative Korrelation bedeutet, dass eine Variable tendenziell ansteigt, während die andere abfällt.

Das Regressionsmodell

Das Regressionsmodell ist die mathematische Gleichung, die die Beziehung zwischen den unabhängigen und der abhängigen Variable beschreibt. In der einfachsten Form (der linearen Regression) sieht die Regressionsgleichung so aus:

y = a + bx + e

Dabei ist:

• y die abhängige Variable,
• x die unabhängige Variable,
• a der y-Achsenabschnitt (oder „Intercept“),
• b die Steigung der Linie (oder „Regressionskoeffizient“), die angibt, wie stark y auf Änderungen in x reagiert, und
• R-Quadrat Fehlerterm, der die Abweichung der tatsächlichen Datenpunkte von der Regressionslinie darstellt.

R-Quadrat

R², auch bekannt als das Bestimmtheitsmaß, ist ein statistisches Maß, das angibt, welcher Anteil der Varianz in der abhängigen Variable durch die unabhängigen Variablen im Modell erklärt wird. Ein R² von 1 bedeutet, dass das Modell 100% der Varianz erklärt, während ein R² von 0 bedeutet, dass das Modell keine Varianz erklärt.

Arten von Regressionsanalyse

Es gibt verschiedene Arten der Regressionsanalyse, die du je nach deinen spezifischen Daten und deinem Forschungsziel auswählen kannst. 

• Lineare Regression: Dies ist die einfachste Form der Regressionsanalyse, bei der angenommen wird, dass es eine lineare Beziehung (Regressionsgerade) zwischen den unabhängigen und der abhängigen Variable gibt.
• Multiple Regression: Diese Methode wird verwendet, wenn du mehrere unabhängige Variablen in deine Analyse einbeziehen möchtest.
• Logistische Regression: Sie wird verwendet, wenn die abhängige Variable kategorisch ist, wie zum Beispiel „ja“ oder „nein“.
• Polynomiale Regression: Diese Art der Regression wird verwendet, wenn die Beziehung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen nicht linear ist.
• Schätzmethode: Dies ist die Methode der kleinsten Quadrate und versucht, die Summe der quadrierten Abweichungen (auch Residuen genannt) zwischen den von der Regressionsfunktion vorhergesagten Werten und den tatsächlich beobachteten Werten zu minimieren.

Hypothesentest in der Regressionsanalyse

Ein wichtiger Aspekt der Regressionsanalyse ist der Hypothesentest. Die Nullhypothese (H0) in einer Regressionsanalyse besagt in der Regel, dass es keine Beziehung zwischen den Variablen gibt. Die Alternativhypothese (H1) behauptet das Gegenteil, nämlich dass es eine Beziehung gibt. In der Regressionsanalyse verwendest du einen p-Wert, um zu entscheiden, ob du die Nullhypothese ablehnen kannst. 

Allgemein gilt: wenn der p-Wert kleiner als dein Signifikanzniveau (üblicherweise 0,05) ist, kannst du die Nullhypothese ablehnen und annehmen, dass es eine signifikante Beziehung zwischen den Variablen gibt.

Interpretation der Ergebnisse

Nachdem du die Regressionsfunktion geschätzt hast, möchtest du wahrscheinlich wissen, wie gut sie die Daten erklärt. Ein Weg, dies zu tun, ist die Berechnung des R²-Werts. Aber du möchtest vielleicht auch wissen, ob die Beziehung, die du gefunden hast, statistisch signifikant ist. Dazu kannst du einen Test der Signifikanz durchführen. 

Wenn der p-Wert des Tests kleiner als dein festgelegtes Signifikanzniveau (oft 0,05) ist, kannst du schlussfolgern, dass die Beziehung zwischen den Variablen in deiner Stichprobe wahrscheinlich nicht zufällig ist.

• Der Koeffizient: Dieser Wert zeigt dir, wie sich die abhängige Variable ändert, wenn die unabhängige Variable um eine Einheit erhöht wird, während alle anderen Variablen konstant gehalten werden.
• Das Bestimmtheitsmaß R²: Dieser Wert liegt zwischen 0 und 1 und gibt an, welcher Anteil der Varianz in der abhängigen Variable durch die unabhängigen Variablen erklärt wird.
• Die F-Statistik: Sie testet, ob zumindest eine der unabhängigen Variablen einen signifikanten Einfluss auf die abhängige Variable hat.

Der Prozess der Regressionsanalyse

Die Durchführung einer Regressionsanalyse kann in mehrere Schritte unterteilt werden. Jeder dieser Schritte ist entscheidend für die Qualität und Genauigkeit deiner Ergebnisse. Die Regressionsanalyse macht eine Reihe von Annahmen über die Daten, einschließlich Linearität, Unabhängigkeit, Normalverteilung und Homoskedastizität.

Datensammlung

Der erste Schritt besteht darin, die Daten zu sammeln, die du analysieren möchtest. Diese Sammlung kann durch Stichproben erfolgen, wobei die Daten sauber, vollständig und relevant für die Fragestellung sein sollten. 

Der Datensatz, den du für deine Analyse verwendest, sollte repräsentativ für die Population sein, die du untersuchst, und sollte auf dem richtigen Skalenniveau gemessen werden. Das Skalenniveau (nominal, ordinal, intervall, ratio) bestimmt, welche statistischen Verfahren angewendet werden können.

• Relevanz: Stelle sicher, dass deine Daten tatsächlich die Variablen enthalten, die du untersuchen möchtest.
• Vollständigkeit: Fehlende Daten können zu verzerrten Ergebnissen führen. Es ist daher wichtig, fehlende Werte auf angemessene Weise zu behandeln.
• Genauigkeit: Die Daten sollten so genau wie möglich sein. Ungenaue Daten können zu falschen Schlussfolgerungen führen.

Modellbildung

Nachdem du deine Daten gesammelt hast, besteht der nächste Schritt darin, dein Regressionsmodell zu erstellen. Dies beinhaltet die Auswahl der unabhängigen Variablen, die du in dein Modell aufnehmen möchtest, und die Bestimmung der Art der Beziehung zwischen den Variablen. 

• Auswahl der Variablen: Die Auswahl der richtigen Variablen für dein Modell ist entscheidend. Du solltest Variablen auswählen, die wahrscheinlich einen Einfluss auf die abhängige Variable haben.
• Art der Beziehung: Du musst auch die Art der Beziehung zwischen den Variablen festlegen. Ist die Beziehung linear oder nicht-linear? Gibt es Interaktionen zwischen den Variablen?

Modelltest und Annahmeprüfung

Schließlich musst du dein Modell testen und seine Annahmen überprüfen. Dies beinhaltet die Überprüfung der Gültigkeit deiner Ergebnisse und die Durchführung von Hypothesentests. 

• Gültigkeit der Ergebnisse: Du solltest überprüfen, ob deine Ergebnisse Sinn ergeben und ob sie mit dem übereinstimmen, was du bereits über das Thema weißt.
• Hypothesentests: Du solltest Hypothesentests durchführen, um zu überprüfen, ob die Beziehungen, die du in deinem Modell gefunden hast, statistisch signifikant sind.
• Überprüfung der Annahmen: Jedes Regressionsmodell macht bestimmte Annahmen. Du solltest überprüfen, ob diese Annahmen in deinem Fall zutreffen.

Anwendung der Regressionsanalyse

Die Regressionsanalyse ist von großer Bedeutung, da sie uns hilft, komplexe Phänomene zu verstehen und Vorhersagen über zukünftige Ereignisse zu treffen. Sie wird in einer Vielzahl von Bereichen eingesetzt, darunter:

Wirtschaft

In der Wirtschaft wird die Regressionsanalyse häufig zur Vorhersage von Verkaufszahlen, zur Preisoptimierung und zur Bewertung von Marketingkampagnen eingesetzt. 

• Verkaufsprognose: Unternehmen können historische Verkaufsdaten und Faktoren wie saisonale Trends, Preise und Werbeausgaben verwenden, um zukünftige Verkaufszahlen vorherzusagen.
• Preisgestaltung: Durch die Analyse der Beziehung zwischen Preis und Nachfrage können Unternehmen den optimalen Preis für ihre Produkte oder Dienstleistungen ermitteln.
• Marketinganalyse: Die Wirksamkeit von Marketingkampagnen kann durch die Untersuchung der Beziehung zwischen Werbeausgaben und Verkaufszahlen bewertet werden.

Sozialwissenschaft

In den Sozialwissenschaften wird die Regressionsanalyse oft verwendet, um die Beziehungen zwischen verschiedenen sozialen Phänomenen zu untersuchen. 

• Bildung und Einkommen: Forscher können die Beziehung zwischen Bildungsniveau und Einkommen untersuchen, um zu verstehen, wie Bildung die wirtschaftlichen Aussichten einer Person beeinflusst.
• Gesundheit und Lebensstil: Die Beziehung zwischen Gesundheitsindikatoren und Lebensstilfaktoren wie Ernährung, Bewegung und Rauchgewohnheiten kann untersucht werden.

Medizin

In der Medizin wird die Regressionsanalyse unter anderem zur Vorhersage von Patientenergebnissen, zur Untersuchung der Wirksamkeit von Behandlungen und zur Identifizierung von Risikofaktoren für Krankheiten verwendet. 

• Patientenergebnisse: Ärzte können Faktoren wie Alter, Geschlecht, Vorerkrankungen und Behandlungspläne verwenden, um die wahrscheinlichen Ergebnisse für ihre Patienten vorherzusagen.
• Behandlungseffektivität: Die Wirksamkeit verschiedener Behandlungen kann durch Vergleich der Patientenergebnisse untersucht werden.
• Risikofaktoren: Durch die Analyse der Beziehung zwischen verschiedenen Risikofaktoren und Krankheiten können Ärzte besser verstehen, welche Faktoren das Krankheitsrisiko erhöhen.